Analiza matematyczna

Analiza matematyczna – zespół teorii obejmujący wiele ważnych działów matematyki.
Początkowo analiza matematyczna obejmowała jedynie to, co dzisiaj nazywamy rachunkiem różniczkowym i całkowym. Jej rozwój zainicjowały prace Leibniza i Newtona z początku XVII wieku.
Z czasem rachunek różniczkowy i całkowy, ograniczający się wcześniej do kartezjańskich przestrzeni rzeczywistych, objął swoim zakresem inne przestrzenie: przestrzenie zespolone (teoria funkcji holomorficznych), przestrzenie Banacha i Hilberta (wraz z odpowiadającymi im teoriami) oraz bardziej zaawansowane twory geometryczne (na przykład rozmaitości różniczkowalne).
Zaawansowanej analizy matematycznej nie można obecnie uprawiać bez znajomości algebry, topologii (w tym topologii algebraicznej) czy geometrii różniczkowej. 

DERIVE

Derive jest stosunkowo prostym w obsłudze, popularnym i rozbudowanym programem typu CAS (Computer Algebra System) służącym do przeprowadzania obliczeń symbolicznych i numerycznych ze wszystkich działów matematyki.
Rozwiązuje zadania z zakresu arytmetyki, algebry, analizy, równań i nierówności, trygonometrii, rachunku wektorowego, macierzy itd. Rezultaty mogą być prezentowane w postaci zaawansowanych wykresów 2D i 3D. Dzięki możliwościom prezentacji drogi do rozwiązania problemu może być pomocnym narzędziem do nauczania, a dzięki wygodnemu i rzeczywistemu środowisku do symbolicznego rozwiązywania szerokiego zakresu problemów matematycznych sprawdzi się jako narzędzie efektywne badawcze.

Główne możliwości programu- dokładne obliczenia na ułamkach i liczbach niewymiernych,
- przybliżone obliczanie wartości wyrażeń liczbowych z określoną przez użytkownika dokładnością,
- obliczenia symboliczne na wyrażeniach algebraicznych (wykonywanie działań i redukcja wyrazów podobnych, rozkład na czynniki wielomianów, obliczanie pochodnych, granic funkcji, ...),
- dokładne rozwiązywanie równań i nierówności,
- dokładne rozwiązywanie układów równań i nierówności wielomianowych,
- rozwiązywanie równań i nierówności metodą "krok po kroku",
- łatwe i szybkie wykonywanie wykresów funkcji,
- obserwowanie wspólrzędnych punktów umieszconych na wykresie.
- przygotowywanie, edycję, wydruk oraz zachowywanie tekstów matematycznych.

Matematyka finansowa/ informatyka

Matematyka finansowa jest dzisiaj jedną z najszybciej rozwijających się dziedzin

matematyki stosowanej. Zajmuje się opisywaniem bogactwa ekonomicznej rzeczywistości

przy pomocy aparatu matematycznego.

Współcześnie uważa się, że podwaliny pod powstanie dziedziny matematyki finansowej

zostały położone wraz z opublikowaniem pracy doktorskiej przez francuskiego matematyka i

ekonomistę Louisa Bacheliera. Jednak jego idee pozostały przez długi czas w zapomnieniu i

gwałtowny rozwój tej dziedziny wiedzy przepada dopiero na lata 70. XX wieku gdy Robert

Merton i Myron Scholes wprowadzili matematyczne modele wyceny arbitrażowej

instrumentów finansowych. Zaowocowało to między innymi przyznaniem im Nagrody Nobla

w 1997 roku.

Matematyka finansowa dzieli się na dwa główne nurty:

1. Teoria funkcji pieniądza w czasie - wykorzystuje się w niej podstawową wiedzę z

zakresu analizy matematycznej (ciągi, szeregi, pochodna i całka Riemanna). Bada ona

w jaki sposób zmienia się kapitał w czasie przy założeniu danego oprocentowania.

Ponadto rozpatruje ciągi płatności dokonywanych co pewien okres.

2. Teoria wyceny instrumentów finansowych - wykorzystuje się w niej poza wiedzą z

zakresu analizy

Informatyka – dyscyplina nauki, zaliczana do dziedziny nauk ścisłych oraz techniki

zajmująca się przetwarzaniem informacji, w tym również technologiami przetwarzania

informacji oraz technologiami wytwarzania systemów przetwarzających informację.

Pierwotnie część matematyki, rozwinęła się do odrębnej dziedziny – pozostaje jednak nadal w

ścisłym związku z matematyką, która dostarcza informatyce podstaw teoretycznych.

Nazewnictwo

Określenie informatyka ma swój odpowiednik w języku angielskim: computer science –

dosłownie: nauka o komputerze – co może być mylące i dlatego jest krytykowane w

środowiskach akademickich i informatycznych [1] .

W języku polskim termin ten zaproponował w październiku 1968 r. Romuald Marczyński w

Zakopanem na ogólnopolskiej konferencji poświęconej maszynom matematycznym; na

wzór (fr.) informatique i (niem.) informatik.

Metoda eliminacji Gaussa

Metoda eliminacji Gaussa – algorytm rozwiązywania układów równań liniowych, obliczania rzędu macierzy, obliczania macierzy odwrotnej oraz obliczania wartości wyznacznika, wykorzystujący operacje elementarne; jego nazwa pochodzi od nazwiska matematyka niemieckiego Carla Friedricha Gaussa.

Przykład

Układ wyjściowy:

Macierz rozszerzona tego układu:

Sprowadzając do postaci schodkowej (za pomocą operacji kolejno: odjęcia wielokrotności 1. wiersza od 2., 3. i 4. wiersza, zamienienia 2. i 3. wiersza, odjęcia 2. wiersza od 4. wiersza, odjęciu 3. wiersza od 4. wiersza):

Rząd macierzy głównej

jest równy 3 czyli równy rzędowi macierzy rozszerzonej

oraz mniejszy od liczby szukanych niewiadomych.
Z twierdzenia Kroneckera-Capellego wynika, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru. Rozwiązujemy układ:

Przyjmując parametr  za  i rozwiązując układ od dołu uzyskujemy:

Zatem rozwiązaniem układu są czwórki:

,

gdzie  jest dowolnym elementem z ciała, w którym szuka się rozwiązania (na przykład, ).

Macierze

Macierz – układ liczb, symboli lub wyrażeń zapisanych w postaci prostokątnej tablicy. Choć słowo „macierz” oznacza najczęściej macierz dwuwskaźnikową, to możliwe jest rozpatrywanie macierzy wielowskaźnikowych. Macierze jednowskaźnikowe nazywa się często wektorami wierszowymi lub kolumnowymi, co wynika z zastosowań macierzy w algebrze liniowej. W informatyce macierze modeluje się zwykle za pomocą (najczęściej dwuwymiarowych) tablic.

Macierze wprowadza się często jako sposób skondensowanego zapisu układów równań liniowych, co ma na celu wyeliminowanie powtarzających się elementów standardowej notacji układów równań tego rodzaju z wieloma niewiadomymi. Same układy pojawiają się wprost podczas algebraizacji zagadnień geometrycznych (równania liniowe parametryzujące punkty, proste, płaszczyzny itd.). Wyrosłym na tym gruncie, podstawowym przeznaczeniem macierzy jest jednak sformułowanie spójnego, a zarazem zwartego sposobu zapisu pojęć i twierdzeń algebry liniowej, a więc przede wszystkim opisuprzekształceń liniowych między dwoma przestrzeniami liniowymi nad wspólnym ciałem(skończeniewymiarowych, z ustalonymi bazami), czy form dwuliniowych na przestrzeni liniowej (skończonego wymiaru z wybraną bazą).

wiersze macierzy

główna przekątna macierzy

kolumny macierzy