czwartek, 31 marca 2016

Metoda eliminacji Gaussa

Metoda eliminacji Gaussa – algorytm rozwiązywania układów równań liniowych, obliczania rzędu macierzy, obliczania macierzy odwrotnej oraz obliczania wartości wyznacznika, wykorzystujący operacje elementarne; jego nazwa pochodzi od nazwiska matematyka niemieckiego Carla Friedricha Gaussa.

Przykład

Układ wyjściowy:
\left\{\begin{matrix} x_1 & - & x_2 & + & 2x_3 & + & 2x_4 & = 0 \\ 2x_1 & - & 2x_2 & + & x_3 & & & = 1 \\ -x_1 & + & 2x_2 & + & x_3 & - & 2x_4 & = 1 \\ 2x_1 & - & x_2 & + & 4x_3 & & & = 2 \end{matrix}\right.
Macierz rozszerzona tego układu:
U=\left[\left.\begin{matrix} 1 & -1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 & -2 \\ 2 & -1 & 4 & 0 \end{matrix}\right|\begin{matrix}0\\1\\1\\2\end{matrix}\right]
Sprowadzając do postaci schodkowej (za pomocą operacji kolejno: odjęcia wielokrotności 1. wiersza od 2., 3. i 4. wiersza, zamienienia 2. i 3. wiersza, odjęcia 2. wiersza od 4. wiersza, odjęciu 3. wiersza od 4. wiersza):
U\sim\left[\left.\begin{matrix} 1 & -1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -3 & -4 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -4 \end{matrix}\right|\begin{matrix}0\\1\\1\\2\end{matrix}\right]\sim\left[\left.\begin{matrix} 1 & -1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & -4 \\ 0 & 1 & 0 & -4 \end{matrix}\right|\begin{matrix}0\\1\\1\\2\end{matrix}\right]\sim\atop\sim\left[\left.\begin{matrix} 1 & -1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & -4 \\ 0 & 0 & -3 & -4 \end{matrix}\right|\begin{matrix}0\\1\\1\\1\end{matrix}\right]\sim\left[\left.\begin{matrix} 1 & -1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right|\begin{matrix}0\\1\\1\\0\end{matrix}\right]
Rząd macierzy głównej
\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
jest równy 3 czyli równy rzędowi macierzy rozszerzonej
\left[\left.\begin{matrix} 1 & -1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right|\begin{matrix}0\\1\\1\\0\end{matrix}\right]
oraz mniejszy od liczby szukanych niewiadomych.
Z twierdzenia Kroneckera-Capellego wynika, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru. Rozwiązujemy układ:
\begin{cases} x_1 - x_2 + 2x_3 + 2x_4 = 0\\ x_2 + 3x_3 = 1\\ -3x_3 - 4x_4 = 1\end{cases}
Przyjmując parametr t\, za x_4\, i rozwiązując układ od dołu uzyskujemy:
\begin{matrix}x_4=t\end{matrix}
\begin{matrix}x_3=-\frac{1}{3}\left(1+4x_4\right)=-\frac{4}{3}t-\frac{1}{3}\end{matrix}
\begin{matrix}x_2=1-3x_3=-1+3\left(-\frac{4}{3}t-\frac{1}{3}\right)=4t+2\end{matrix}
\begin{matrix}x_1=x_2-2x_3-2x_4=4t+2-2\left(-\frac{4}{3}t-\frac{1}{3}\right)-2t=\frac{14}{3}t+\frac{8}{3}\end{matrix}
Zatem rozwiązaniem układu są czwórki:
\left(\frac{14}{3}t+\frac{8}{3},\ 4t+2,\ -\frac{4}{3}t-\frac{1}{3},\ t\right)\,,
gdzie t\, jest dowolnym elementem z ciała, w którym szuka się rozwiązania (na przykład, \mathbb{R}).
Autor: o Brak komentarzy:

Macierze

Macierz – układ liczb, symboli lub wyrażeń zapisanych w postaci prostokątnej tablicy. Choć słowo „macierz” oznacza najczęściej macierz dwuwskaźnikową, to możliwe jest rozpatrywanie macierzy wielowskaźnikowych. Macierze jednowskaźnikowe nazywa się często wektorami wierszowymi lub kolumnowymi, co wynika z zastosowań macierzy w algebrze liniowej. W informatyce macierze modeluje się zwykle za pomocą (najczęściej dwuwymiarowych) tablic.
Macierze wprowadza się często jako sposób skondensowanego zapisu układów równań liniowych, co ma na celu wyeliminowanie powtarzających się elementów standardowej notacji układów równań tego rodzaju z wieloma niewiadomymi. Same układy pojawiają się wprost podczas algebraizacji zagadnień geometrycznych (równania liniowe parametryzujące punkty, proste, płaszczyzny itd.). Wyrosłym na tym gruncie, podstawowym przeznaczeniem macierzy jest jednak sformułowanie spójnego, a zarazem zwartego sposobu zapisu pojęć i twierdzeń algebry liniowej, a więc przede wszystkim opisuprzekształceń liniowych między dwoma przestrzeniami liniowymi nad wspólnym ciałem(skończeniewymiarowych, z ustalonymi bazami), czy form dwuliniowych na przestrzeni liniowej (skończonego wymiaru z wybraną bazą).
wiersze macierzy
główna przekątna macierzy
kolumny macierzy 
Autor: o Brak komentarzy:
Subskrybuj: Posty (Atom)